Trong lí thuyết số, kí hiệu Legendre là một hàm nhân tính nhận ba giá trị 1, -1 và 0. Nó được đặt theo tên của nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre và gắn liền với khái niệm thặng dư bậc hai.

Kí hiệu này được Legendre giới thiệu vào năm 1798 trong các bài giảng hướng đến việc chứng minh luật thuận nghịch bậc hai của ông. Tổng quát hóa của kí hiệu Legendre có kí hiệu Jacobi và đặc trưng Dirichlet bậc cao. Sự tiện dụng của kí hiệu này đã tạo cảm hứng cho những kí hiệu khác xuất hiện trong lí thuyết số đại số như kí hiệu Hilbert hay kí hiệu Artin.

Định nghĩa

Nếu p là số nguyên tố lẻ và a là một số nguyên, thì ký hiệu Legendre $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\}\backslash right)$ có thể nhận các giá trị:

• 0 nếu p chia hết a, hay a là bội của p.
• 1 nếu a là thặng dư bậc hai modulo p — nghĩa là tồn tại số nguyên k sao cho k² ≡ a (mod p);
• −1 nếu a không là thặng dư bậc hai modulo p, hay ta gọi a là bất thặng dư bậc hai modulo p. Tuy nhiên, ban đầu Legendre lại định nghĩa như sau: $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\}\backslash right)\; \backslash equiv\; a^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\; \backslash pmod\; p\; \backslash quad\; \backslash text\{\; và\; \}\; \backslash quad\backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\}\backslash right)\; \backslash in\; \{-1,0,1\}.$

Các tính chất của ký hiệu Legendre

Các tính chất sau thường sử dụng để có thể tính nhanh ký hiệu Legendre:

$$

\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)

(Nó là hàm có tính chất nhân đối với đối số trên. #Nếu _a_ ≡ _b_ (mod _p_), thì $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{b\}\{p\}\backslash right)$ #$\backslash left(\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)\; =\; 1$ #$\backslash left(\backslash frac\{-1\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{(p-1)/2\}=\backslash begin\{cases\}1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 1\backslash pmod\{4\}\; \backslash \backslash -1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 3\backslash pmod\{4\}\; \backslash end\{cases\}$ #$\backslash left(\backslash frac\{2\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{(p^2-1)/8\}=\backslash begin\{cases\}1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 1\backslash mbox\{\; hoac\; \}7\; \backslash pmod\{8\}\; \backslash \backslash -1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 3\backslash mbox\{\; hoac\; \}5\; \backslash pmod\{8\}\; \backslash end\{cases\}$ #Với số nguyên tố lẻ _p_ bất kỳ, $\backslash left(\backslash frac\{3\}\{p\}\backslash right)=\; (-1)^\backslash left\; \backslash lceil\; \backslash frac\{p+1\}\{6\}\; \backslash right\; \backslash rceil\; =\backslash begin\{cases\}1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 1\backslash mbox\{\; hoac\; \}11\; \backslash pmod\{12\}\; \backslash \backslash -1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 5\backslash mbox\{\; hoac\; \}7\; \backslash pmod\{12\}\; \backslash end\{cases\}$ #Với số nguyên tố lẻ _p_ bất kỳ, $\backslash left(\backslash frac\{5\}\{p\}\backslash right)=(-1)^\backslash left\; \backslash lfloor\; \backslash frac\{p-2\}\{5\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; =\backslash begin\{cases\}1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 1\backslash mbox\{\; hoac\; \}4\; \backslash pmod5\; \backslash \backslash -1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 2\backslash mbox\{\; hoac\; \}3\; \backslash pmod5\; \backslash end\{cases\}$ #Với số nguyên tố lẻ _p_ bất kỳ, $\backslash left(\backslash frac\{7\}\{p\}\backslash right)=\backslash begin\{cases\}1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 1,\; 3,\; 9,\; 19,\; 25,\backslash mbox\{\; hoac\; \}27\backslash pmod\{28\}\; \backslash \backslash -1\backslash mbox\{\; khi\; \}p\; \backslash equiv\; 5,\; 11,\; 13,\; 15,\; 17,\; \backslash mbox\{\; hoac\; \}\; 23\; \backslash pmod\{28\}\; \backslash end\{cases\}$ #Nếu _p_ và _q_ là các số nguyên tố lẻ thì $\backslash left(\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)(-1)^\{\; ((p-1)/2)\; ((q-1)/2)\; \}$

Tính chất sau cùng thường được gọi là luật thuận nghịch bình phương. Các tính chất 4 và 5 là các trường hợp riêng của luật trên. Cả hai được chứng minh từ Bổ đề Gauss.

Ký hiệu Legendre được sử dụng trong tiêu chuẩn Euler do Euler chứng minh :$\backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\}\backslash right)\; \backslash equiv\; a^\{(p-1)/2\}\backslash pmod\; p.$

Ví dụ

Có thể sử dụng các tính chất trên để tính ký hiệu Legendre. Chẳng hạn:

:$\backslash left\; (\backslash frac\{12345\}\{331\}\backslash right)$

:$=\backslash left\; (\backslash frac\{3\}\{331\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{5\}\{331\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{823\}\{331\}\backslash right)$

:$=\backslash left\; (\backslash frac\{3\}\{331\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{5\}\{331\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{161\}\{331\}\backslash right)$

:$=\backslash left\; (\backslash frac\{3\}\{331\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{5\}\{331\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{7\}\{331\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{23\}\{331\}\backslash right)$

:$=\; (-1)\; \backslash left\; (\backslash frac\{331\}\{3\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{331\}\{5\}\backslash right)\; (-1)\; \backslash left\; (\backslash frac\{331\}\{7\}\backslash right)\; (-1)\; \backslash left\; (\backslash frac\{331\}\{23\}\backslash right)$

:$=-\backslash left\; (\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{2\}\{7\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{9\}\{23\}\backslash right)$

:$=-\backslash left\; (\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{2\}\{7\}\backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{3\}\{23\}\backslash right)^2$

:$=\; -\; \backslash left\; (1\backslash right)\; \backslash left\; (1\backslash right)\; \backslash left\; (1\backslash right)\; \backslash left\; (1\backslash right)\; =\; -1$

Tổng quát hóa

Ký hiệu Jacobi là tổng quát của ký hiệu Legendre cho các số dưới là các hợp số dương lẻ. Một dạng tổng quát hoa khác là Ký hiệu Kronecker, mở rộng cho các số dưới là các số nguyên tổng quát.