✨Ma trận lũy linh

Ma trận lũy linh

Trong đại số tuyến tính, một ma trận lũy linh là một ma trận vuông N sao cho : $N^k = 0\,$ với k là số nguyên dương. Số k nhỏ nhất thỏa mãn biểu thức trên được gọi là bậc của ma trận lũy linh N.

Ví dụ

Ma trận : $M = \begin{bmatrix}
0 & 1 \
0 & 0
\end{bmatrix}$ là ma trận lũy linh với bậc là 2 (vì $M^2=0$ và $M\neq 0$ ).

Ma trận : $N = \begin{bmatrix}
0 & 2 & 1 & 6\
0 & 0 & 1 & 2\
0 & 0 & 0 & 3\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$ là ma trận lũy linh với bậc là 4 (vì $N^4=0$ và $N^3\neq 0$ ).

Các tính chất đặc trưng

Cho N là một ma trận vuông cấp n với các phần tử thực (hoặc phức), các mệnh đề sau là tương đương:

N lũy linh.

Đa thức cực tiểu của N là λ^k với số nguyên dương k ≤ n.

Đa thức đặc trưng của N là λⁿ.

N có trị riêng duy nhất là 0.

tr(N^k) = 0 với mọi k ≥ 0.

Định lý cũng đúng cho các ma trận trên mọi trường.

Hệ quả

Bậc của một ma trận lũy linh luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng cấp của nó. Ví dụ mọi ma trận lũy linh cấp 2 × 2 đều có bình phương bằng 0.
Định thức và vết của một ma trận lũy linh luôn bằng 0.
Một ma trận 2 × 2 là lũy linh khi và chỉ khi cả định thức và vết của nó bằng 0.
Ma trận đường chéo lũy linh duy nhất là ma trận không.

Các tính chất khác

Nếu M và N là 2 ma trận lũy linh và tích của chúng có tính giao hoán thì M+N và MN đều là các ma trận lũy linh,
Nếu N là ma trận lũy linh thì, thì ma trận I + N khả nghịch (với I là ma trận đơn vị cấp n), đồng thời:: $\det (I + N) = 1,!\,$ :
Nếu N là một ma trận thỏa mãn:: $\det (I + tN) = 1!\,$ : với mọi t, thì N lũy linh.
Mọi ma trận suy biến đều có thể viết thành tích của các ma trận lũy linh.