✨Chiếu vectơ

Chiếu vectơ

nhỏ|200x200px|Hình chiếu của a lên b (a₁), và hình phản chiếu (a₂). nhỏ|248x248px|Khi 90° < θ ≤ 180°, a₁ có chiều ngược lại so với b. Hình chiếu vectơ của một vectơ a lên một vectơ khác không b, ký hiệu là $\operatorname{proj}_\mathbf{b} \mathbf{a}$ , (còn gọi là thành phần vectơ của a theo phương của b) là hình chiếu trực giao (vuông góc) của a lên một đường thẳng song song với b. Nó là một vectơ cùng phương với b, được định nghĩa là:

: $\mathbf{a}_1 = a_1\mathbf{\hat b}\,$

trong đó $a_1$ là một vô hướng, gọi là hình chiếu vô hướng của a lên b, và b̂ là vectơ đơn vị theo hướng của b.

Còn hình chiếu vô hướng được định nghĩa là:

: $a_1 = \left|\mathbf{a}\right|\cos\theta = \mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat b} = \mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b{\left|\mathbf{b}\right|}\,$

trong đó toán tử ⋅ ký hiệu cho tích vô hướng, ‖a‖ là độ dài của a, và θ là góc giữa hai vectơ a và b.

Hình chiếu vô hướng bằng độ dài của hình chiếu vectơ và có giá trị đại số, với dấu trừ nếu chiều của hình chiếu ngược lại với chiều của b. Ta cũng gọi thành phần vectơ của a vuông góc với b là hình phản chiếu vectơ của a từ b (ký hiệu là $\operatorname{oproj}_{\mathbf{b \mathbf{a}$ đó là hình chiếu trực giao của a lên mặt phẳng (hay tổng quát là siêu phẳng) trực giao với b. Hình chiếu a₁ và hình phản chiếu a₂ của a đều là các vectơ và tổng của chúng bằng a,

: $\mathbf{a}_1 = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b {\left|\mathbf{b}\right|^2}{\mathbf{b = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b{\mathbf{b$ .

Hình phản chiếu vô hướng

Trong không gian hai chiều, hình phản chiếu vô hướng chính là hình chiếu của a lên vectơ trực giao $\mathbf{b}^\perp = \begin{pmatrix}-\mathbf{b}_y & \mathbf{b}_x\end{pmatrix}$ , đó là vectơ $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}\mathbf{b}_x & \mathbf{b}_y\end{pmatrix}$ sau khi quay 90° ngược chiều kim đồng hồ. Vì vậy, ta có

: $a_2 = \left|\mathbf{a}\right| \sin \theta = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}^\perp} {\left|\mathbf{b}\right|} = \frac {\mathbf{a}_y \mathbf{b}_x - \mathbf{a}_x \mathbf{b}_y} {\left|\mathbf{b}\right| }$ .

Tích vô hướng có dạng trên được gọi là "tích vô hướng vuông."

Hình phản chiếu vectơ

Theo định nghĩa:

: $\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1$

vì vậy,

: $\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b{\mathbf{b.$

Tính chất

phải|nhỏ|200x200px|Nếu 0° ≤ θ ≤ 90° như trong trường hợp này thì [[hình chiếu vô hướng của a lên b bằng độ dài của hình chiếu vectơ.]]

Hình chiếu vô hướng

Hình chiếu vô hướng của a lên b là một vô hướng, nó có dấu âm nếu 90° < θ ≤ 180°. Nó bằng độ dài ‖c‖ của hình chiếu vectơ nếu góc θ nhỏ hơn 90°. Một cách chính xác hơn là:

a₁ = ‖a₁‖ nếu 0° ≤ θ ≤ 90°,
a₁ = −‖a₁‖ nếu 90° < θ ≤ 180°.

Hình chiếu vectơ

Hình chiếu vectơ của a lên b là một vectơ a₁, có thể song song với b hoặc bằng vectơ không. Cụ thể:

a₁ = 0 nếu θ = 90°,
a₁ và b cùng chiều nếu 0° ≤ θ < 90°,
a₁ và b ngược chiều nếu 90° < θ ≤ 180°.

Hình phản chiếu vectơ

Hình phản chiếu vectơ của a từ b là một vectơ a₂, có thể trực giao với b hoặc bằng vectơ không. Cụ thể:

a₂ = 0 nếu θ = 0 or θ = 180°,
a₂ vuông góc với b nếu 0° < θ < 180°,

Biểu diễn ma trận

Phép chiếu trực giao có thể được biểu diễn bởi một ma trận chiếu. Để chiếu một vectơ lên một vectơ đơn vị a = (a_x, a_y, a_z), ta cần nhân vectơ đó với ma trận chiếu:

: $P_a = a a^\textsf{T} =
\begin{bmatrix} a_x \ a_y \ a_z \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a_x & a_y & a_z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a_x^2 & a_x a_y & a_x a_z \
a_x a_y & a_y^2 & a_y a_z \
a_x a_z & a_y a_z & a_z^2 \
\end{bmatrix}$

Ứng dụng

Phép chiếu vectơ là một phép toán quan trọng trong quá trình trực giao hóa Gram–Schmidt cho cơ sở của các không gian vectơ. Nó cũng được sử dụng trong định lý tách trục để xác định xem liệu hai hình lồi có giao nhau.

Tổng quát hóa

Bởi vì các khái niệm độ dài vectơ và góc giữa các vectơ có thể được tổng quát hóa trên một không gian tích trong n chiều, cũng có thể tổng quát hóa các khái niệm như hình chiếu trực giao của một vectơ, hình chiếu và hình phản chiếu của một vectơ lên vectơ khác.

Trong một số trường hợp, như với không gian Euclid n chiều, khái niệm tích trong trùng với tích vô hướng. Nếu hai khái niệm này không giống nhau thì tích trong thay vì tích vô hướng sẽ được sử dụng trong định nghĩa chính tắc của hình chiếu và hình phản chiếu.

Đối với một không gian tích trong 3 chiều, các khái niệm hình chiếu và hình phản chiếu của một vectơ lên một vectơ khác được tổng quát hóa lên khái niệm hình chiếu và hình phản chiếu của vectơ lên một mặt phẳng. Hình chiếu của một vectơ lên một mặt phẳng cũng chính là hình chiếu trực giao của vectơ đó lên mặt phẳng, còn hình phản chiếu của một vectơ lên mặt phẳng là hình chiếu trực giao của vectơ đó lên một đường thẳng trực giao với mặt phẳng đó. Cả hai đều là vectơ. Hình chiếu song song với mặt phẳng còn hình phản chiếu thì vuông góc.

Đối với một vectơ và một mặt phẳng cho trước, tổng của hình chiếu và hình phản chiếu bằng vectơ ban đầu. Tương tự, đối với không gian tích trong nhiều hơn 3 chiều, các khái niệm hình chiếu và phản chiếu lên một vectơ có thể được tổng quát hóa lên thành hình chiếu và phản chiếu lên một siêu phẳng. Trong một đại số hình học, chúng được tổng quát hóa hơn nữa thành các khái niệm hình chiếu và hình phản chiếu của một đa vectơ tổng quát lên một k-blade khả nghịch.

👁️ 64 | ⌚2025-09-16 22:46:22.531

Nguyễn Kim

ATADI _ Đặt vé máy bay trực tuyến giá rẻ

GOTADI – Vé máy bay giá rẻ, uy tín

Chiếu vectơ

nhỏ|200x200px|Hình chiếu của **a** lên **b** (**a**₁), và hình phản chiếu (**a**₂). nhỏ|248x248px|Khi 90° < _θ_ ≤ 180°, **a**₁ có chiều ngược lại so với **b**. **Hình chiếu vectơ** của một vectơ **a** lên một

Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

Vectơ

Trong Toán học, Vật lí và kĩ thuật, **vectơ** hay **hướng lượng** (theo phiên âm Hán Việt) (tiếng Anh: _vector_) là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều và độ

Chiều (không gian vectơ)

Trong toán học, **số chiều** của một không gian vectơ _V_ là số lượng (tức là số vectơ) trong một hệ cơ sở của _V_ trên trường cơ sở của nó. Nó đôi khi cũng

Hàm vectơ

Một hàm được định giá trị vectơ, cũng được gọi là **hàm vectơ**, là một hàm toán học của một hoặc nhiều biến với miền giá trị của nó là một bộ của những vectơ

Tích vectơ

nhỏ|Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong [[hệ tọa độ bên phải]] Trong toán học, phép **tích vectơ** hay **nhân vectơ** hay **tích có hướng** là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ

Hệ quy chiếu quay

**Hệ quy chiếu quay** là một hệ quy chiếu phi quán tính quay so với một hệ quy chiếu quán tính. Ví dụ về hệ quy chiếu quay có thể thấy được hằng ngày là

Mô hình không gian véctơ

**Mô hình không gian véctơ** hay **mô hình thuật ngữ véctơ** (tiếng Anh: **vector space model**) là một mô hình đại số dùng để thể hiện các tài liệu văn bản (và bất cứ đối

Vectơ hàng và cột

Trong đại số tuyến tính, một **vectơ cột** hay **ma trận cột** là một ma trận cỡ _m_ × 1, tức là ma trận chỉ gồm một cột đơn gồm _m_ phần tử, :

\boldsymbol{x}

Tích phân vectơ

**Giải tích vectơ**, hay **tích phân vectơ**, liên quan đến vi phân và tích phân các trường vectơ, chủ yếu trong không gian Euclide 3 chiều

\mathbb{R}^3.

Thuật ngữ "tích phân véctơ" đôi khi được

Công suất điện xoay chiều

**Công suất điện xoay chiều** là phần năng lượng được chuyển qua mạch điện xoay chiều trong một đơn vị thời gian. ## Giới thiệu Công suất được định nghĩa như là phần năng lượng

Vectơ từ

Trong xử lý ngôn ngữ tự nhiên (NLP), **vectơ từ** (còn được gọi là **biểu diễn từ**, **nhúng từ**, hay **word embedding**) là một cách biểu diễn từ ngữ. Vectơ từ được sử dụng trong

Vectơ-4

**Vectơ-4** là một véctơ trên một không gian 4 chiều thực đặc biệt, gọi là không gian Minkowski. Chúng xuất hiện lần đầu trong lý thuyết tương đối hẹp, như là sự mở rộng của

Không gian vectơ

phải|nhỏ|Không gian vectơ là một tập các đối tượng có định hướng (được gọi là các vectơ) có thể co giãn và cộng. Trong toán học, **không gian vectơ** (hay còn gọi là không gian

Máy vectơ hỗ trợ

**Máy vectơ hỗ trợ** (**SVM** - viết tắt tên tiếng Anh **support vector machine**) là một khái niệm trong thống kê và khoa học máy tính cho một tập hợp các phương pháp học có

Phân thớ véctơ

phải|nhỏ|250x250px| [[Mặt Mobius|Dải Mobius (mở rộng vô hạn) là một phân thớ đường trên đường tròn **S**¹. Trong một lân cận địa phương tại mọi điểm của **S**¹, nó đồng phôi với _U_×**R** (trong đó

Vectơ Laplace-Runge-Lenz

Trong cơ học cổ điển, ** Laplace–Runge–Lenz** (hay còn được gọi là **vectơ LRL**, **vectơ Runge-Lenz** hay **bất biến Runge-Lenz**) là vectơ thường được dùng để miêu tả hình dạng và định hướng của quỹ

Vectơ Poynting

phải|nhỏ|[[Bức xạ điện từ|Sóng điện từ truyền đi trong không gian]] **Vectơ Poynting** là tích vectơ giữa cường độ điện trường và cường độ từ trường, được đặt tên theo người phát hiện John Henry

Phép chiếu (đại số tuyến tính)

phải|khung|Phép biến đổi _P_ là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng _m_. Trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, **phép chiếu** là một biến đổi tuyến tính

P

từ một không gian

Số chiều Hausdorff

thumb|Ước lượng Số chiều Hausdorff của bờ biển nước Anh Trong toán học, **Số chiều Hausdorff** (còn được biết đến như là **Số chiều Hausdorff - Besicovitch**) là một số thực không âm mở rộng

Toán học của thuyết tương đối rộng

**Toán học của thuyết tương đối rộng** là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein.

Chuyển động học

**Chuyển động học** là một nhánh của cơ học cổ điển, có mục đích mô tả chuyển động của các điểm, vật thể và hệ vật trong khi bỏ qua nguyên nhân dẫn đến các

Không gian hàng và cột

Quá trình Gram–Schmidt

phải|khung|Hai bước đầu tiên của quá trình Gram–Schmidt Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số tuyến tính và giải tích số, **quá trình Gram–Schmidt** là một phương pháp trực chuẩn hóa

Hệ tọa độ Descartes

Một **Hệ tọa độ Descartes** (tiếng Anh: **Cartesian coordinate system**) xác định vị trí của một điểm (_point_) trên một mặt phẳng (_plane_) cho trước bằng một cặp số tọa độ (_x_, _y_). Trong đó,

Đại số

**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây

Mặt phẳng (toán học)

thumb|Hai mặt phẳng giao nhau trong không gian ba chiều Trong toán học, _mặt phẳng_ là một mặt hai chiều phẳng kéo dài vô hạn. Một **mặt phẳng** là mô hình hai chiều tương tự như

Phép phản xạ

nhỏ|Tam giác _ABC_ và ảnh phản xạ của nó _A_B_C_'' qua phép phản xạ qua trục đối xứng c₁c₂. Trong toán học, **phép phản xạ** là một ánh xạ đẳng cự từ một không gian

Bơm ly tâm

nhỏ|Hình 1- Bơm ly tâm Warman ứng dụng trong máy chế biến than **Bơm ly tâm** là loại máy thủy lực cánh dẫn, nhờ bánh công tác (cánh quạt) cơ năng của máy chuyển sang

Khoảng cách Euclid

nhỏ|upright=1.35|Áp dụng định lý Pythagoras để tính khoảng cách Euclid trong mặt phẳng Trong toán học, **khoảng cách Euclid** () giữa hai điểm trong không gian Euclid là độ dài của đoạn thẳng nối hai

(Mô phỏng) Toán học: Cộng Véc Tơ

CHỦ ĐỀ Vectơ Thành phần véc tơ Cộng Véc Tơ Phương trình MỤC TIÊU HỌC TẬP MẪU Mô tả một véc tơ bằng từ ngữ của riêng bạn Giải thích phương pháp cộng vectơ So

Gradient

Trong giải tích vectơ, **gradient** của một trường vô hướng là một trường vectơ có chiều hướng về phía mức độ tăng lớn nhất của trường vô hướng, và có độ lớn là mức độ

Hình Học Vi Phân

Giáo trình Hình học vi phần này là một giáo trình về hình học vi phân cổ điển (lí thuyết về đường và mặt trong không gian Euclid hai, ba chiều), đồng thời là một

Hình Học Vi Phân

Giáo trình Hình học vi phần này là một giáo trình về hình học vi phân cổ điển lí thuyết về đường và mặt trong không gian Euclid hai, ba chiều, đồng thời là một

Pháp tuyến (hình học)

thế=|nhỏ| Một đa giác và hai vec-tơ pháp tuyến của nó phải|nhỏ| Một véc-tơ pháp tuyến của bề mặt tại một điểm chính là một véc-tơ pháp tuyến với mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm

Đường sức từ

**Đường sức từ trường** là một quỹ tích được định nghĩa bởi một trường vector và một điểm bắt đầu bên trong miền từ. Đường sức từ được vẽ trong từ trường sao cho tiếp

Bình lưu

Trong vật lý, kỹ thuật và khoa học Trái Đất thì **bình lưu (Advection)** là sự vận chuyển của một chất bằng chuyển động khối (chuyển động cả khối chất lưu). Các tính chất của

Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần I: Đại số tuyến tính (Tái bản lần thứ tư)

Cuốn Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần I: Đại số tuyến tính (Tái bản lần thứ tư) gồm nội dung như sau: Chương 1: Tập hợp, quan hệ và

Giả vector

liên_kết=https://en.wikipedia.org/wiki/File:BIsAPseudovector.svg|nhỏ|Một cuộn dây (màu đen) mang dòng điện

I

tạo ra từ trường

B

(màu xanh). Nếu vị trí và dòng điện của cuộn dây được phản chiếu qua một mặt phẳng (biểu diễn bằng

Quaternion

thumb|[[đồ thị Cayley|Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi , và . (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể

Từ trường

Từ trường của một thanh [[nam châm hình trụ.]] **Từ trường** là môi trường năng lượng đặc biệt sinh ra quanh các điện tích chuyển động hoặc do sự biến thiên của điện trường hoặc

Ma trận (toán học)

phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất

Hạng (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **hạng** (rank) của một ma trận là số chiều của không gian vectơ được sinh (span) bởi các vectơ cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc

Biến đổi tuyến tính

Trong toán học, một phép **biến đổi tuyến tính** (còn được gọi là **toán tử tuyến tính** hoặc là **ánh xạ tuyến tính**) là một ánh xạ

V \rightarrow W

giữa hai mô đun (cụ

Định lý Pythagoras

**Định lý Pythagoras**
Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông (_a_ và _b_) bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền (_c_). Trong