✨Đại số phổ dụng

Đại số phổ dụng thường gọi tắt là đại số là một cấu trúc đại số tổng quát nhất. Khái niệm đại số phổ dụng bao gồm tất cả các cấu trúc đại số đã biết như nhóm, nửa nhóm, vành, trường,...

Khái niệm cơ bản

Đại số

Một đại số phổ dụng, gọi tắt là đại số là một cặp $(A,\backslash Omega)$, trong đó A là một tập hợp không rỗng, được gọi là tập nền và $\backslash Omega$ là tập hợp (hữu hạn hoặc vô hạn) các phép toán trên A.

Phép toán

Phép toán n ngôi $\backslash omega$ trên A với n $\backslash ge$ 1, n $\backslash in\; \backslash mathbb\; N$ là ánh xạ: :: $\backslash omega:\; A^n\; \backslash to\; A$ :::$(a\_1,a\_2,...,a\_n)\; \backslash mapsto\; a\_1a\_2...a\_n\; \backslash omega$

Trong đó, ký hiệu $a\_1a\_2...a\_n\; \backslash omega$ thay cho $\backslash omega(a\_1a\_2...a\_n)$ là viết theo ký pháp Ba Lan. Để ký hiệu $\backslash omega$ là phép toán n-ngôi ta viết $\backslash omega\; \backslash in\; \{\backslash Omega\}\_n$ Ta cũng gọi là phép toán không ngôi $\backslash omega\; \backslash in\; \{\backslash Omega\}\_0$ là phép chọn một phần tử cố định trong A, kết quả phép chọn $\backslash omega$ được ký hiệu là 1$\backslash omega$

Kiểu của đại số

Cho $(A,\{\backslash Omega\_A\})$ là đại số với hữu hạn phép toán $\{\backslash omega\}\_1,...,\{\backslash omega\}\_n$. Dãy các ngôi của các phép toán đó $(n(\{\backslash omega\}\_1),...,n(\{\backslash omega\}\_1))$ được gọi là kiểu của đại số A.

Đại số con

Tích trực tiếp

Đồng cấu đại số

Đa tạp $\backslash omega$-đại số

Đại số tự do