✨Khối lượng rút gọn

Khối lượng rút gọn là một đại lượng vật lý đặc trưng cho khối lượng quán tính hiệu dụng trong bài toán hai vật thuộc cơ học cổ điển Newton hoặc trong lý thuyết va chạm và tán xạ. Nó là một đại lượng thứ nguyên với đơn vị của khối lượng kg. Sử dụng khối lượng rút gọn có thể đưa bài toán hai vật về bài toán một vật giúp đơn giản hóa việc tìm lời giải.

Bài toán hai vật

Gọi $m\_1\; !\backslash$ và $m\_2\; !\backslash$ là khối lượng của hai vật đang xét. Chuyển bài toán hai vật về bài toán một vật bằng cách sử dụng khối lượng tương đương có giá trị $m\_r\; =\; \backslash mu\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{1/m\_1+1/m\_2\}\; =\; \backslash frac\; \{m\_1\; m\_2\}\; \{m\_1\; +\; m\_2\}$, và lực đặt lên 'vật tương đương' này là lực tương tác giữa hai vật bân đầu. Khối lượng rút gọn luôn nhỏ hơn hoặc bằng khối lượng của mỗi vật ban đầu.

Sử dụng định luật Newton thứ hai, lực tác dụng của vật 2 lên vật 1 là :$F${12} = m_1a1. !\ Lực tác dụng lên vật 2 từ phía vật 1 là :$F\_\{21\}\; =\; m\_2a$2. !\ Theo định luật ba Newton, lực tác dụng giữa hai vật có cùng phương, ngược chiều, cùng độ lớn, tức là: :$F${12} = -F_{21}. !\ Từ đó suy ra: :$m\_1a\_1\; =\; -m\_2a\_2\; !\backslash$ và :$a\_2\; =\; -\; \backslash frac\; \{m\_1\}\; \{m\_2\}\; a\_1.\; !\backslash$ Gia tốc tương đối của hai vật được tính theo công thức: :$a\; =\; a\_1\; -\; a\_2\; =\; (1\; +\; m\_1/m\_2)a\_1\; =\; \backslash frac\; \{m\_1\; +\; m\_2\}\; \{m\_1m\_2\}\; m\_1a$1 = F{12}/m_{r}

Chúng ta thấy rằng vật 1 chuyển động đối với vật 2 giống như một vật có khối lượng tương đương với khối lượng rút gọn.

Sử dụng phương pháp Lagrangian để mô tả hệ hai vật, hàm Lagrangian như sau :$L\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; m\_1\; \backslash mathbf\{\backslash dot\{r\_1^2\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; m\_2\; \backslash mathbf\{\backslash dot\{r\_2^2\; -\; V(\backslash vert\; \backslash mathbf\{r\}\_1\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_2\; \backslash vert)\; !\backslash ,$ trong đó $m\_i,\; \backslash mathbf\{r\}$i tương ứng là khối lượng và vectơ tọa độ của hạt thứ $i$. Thế năng $V$_ chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai vật. Gọi $\backslash mathbf\{r\}\; \backslash equiv\; \backslash mathbf\{r\}\_1\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_2$ và khối tâm của hệ được xác định theo hệ thức $m\_1\; \backslash mathbf\{r\}\_1\; +\; m\_2\; \backslash mathbf\{r\}\_2\; =\; 0$ thì trong hệ khối tâm ta có: :$\backslash mathbf\{r\}\_1\; =\; \backslash frac\{m\_2\; \backslash mathbf\{r\{m\_1\; +\; m\_2\},\; \backslash mathbf\{r\}\_2\; =\; \backslash frac\{-m\_1\; \backslash mathbf\{r\{m\_1\; +\; m\_2\}.$

Thay hàm Lagrangian ở trên bằng hàm Lagrangian mới trong hệ quy chiếu khối tâm :$L\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}m\_\backslash text\{r\}\; \backslash mathbf\{\backslash dot\{r^2\; -\; V(r),$ với $m\_r$ là khối lượng rút gọn của hệ hai vật. Như vậy, ta đã chuyển từ bài toán hai vật về bài toán một vật để đơn giản hóa lời giải.

Khối lượng rút gọn thường được ký hiệu bằng $\backslash mu.$

Khối lượng rút gọn có thể mở rộng cho hệ nhiều vật, sử dụng hệ thức đại số cho đại lượng tương đương sau :$\backslash frac\; \{1\}\; \{x\_\{eq\; =\; 1/x\_1\; +\; 1/x\_2\; +...\; +\; 1/x\_n.\; !\backslash$

Ứng dụng khác

Khối lượng rút gọn được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến hệ hai vật (hoặc nhiều hơn). Ngoài ra, nó còn là một giải pháp hữu hiệu trong lý thuyết va chạm để giải quyết các vấn đề liên quan. Chẳng hạn, nếu hệ số phản xạ sau va chạm là e, sự biến đổi năng lượng có thể biểu diễn theo công thức sau: :$\backslash Delta\; K\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash mu\; v^2${rel}(e^2-1), trong đó $v${rel} !\ là vận tốc tương đối của các vật trước va chạm.