✨Logarit tự nhiên của 2

Giá trị thập phân của logarit tự nhiên của 2 xấp xỉ bằng

: $\backslash ln\; 2\; \backslash approx\; 0.693\backslash ,147\backslash ,180\backslash ,559\backslash ,945\backslash ,309\backslash ,417\backslash ,232\backslash ,121\backslash ,458.$

Logarit cơ số khác của 2 được tính bằng công thức

: $\backslash log\_b\; 2\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln\; b\}.$

Logarit cơ số 10 của 2 là ()

: $\backslash log\_\{10\}\; 2\; \backslash approx\; 0.301\backslash ,029\backslash ,995\backslash ,663\backslash ,981\backslash ,195.$

Nghịch đảo của con số trên là logarit nhị phân của 10:

: $\backslash log$2 10=\frac{1}{\log{10} 2} \approx 3.321\,928\,095 ().

Theo định lý Lindemann–Weierstrass, logarit tự nhiên của bất kỳ số tự nhiên nào khác 0 và 1 (tổng quát hơn, của bất kỳ số đại số dương nào khác 1) là một số siêu việt.

Biểu diễn dạng chuỗi

Chuỗi giai thừa đảo dấu

: $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash sum${n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots. Đây là "chuỗi điều hòa đổi dấu" quen thuộc. : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum${n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1{n(n+1)}. : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{5\}\{8\}\; +\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum${n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1{n(n+1)(n+2)}. : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; +\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash sum${n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1{n(n+1)(n+2)(n+3)}. : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{131\}\{192\}\; +\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash sum${n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}. : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{661\}\{960\}\; +\backslash frac\{15\}\{4\}\backslash sum${n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.

Chuỗi giai thừa nhị phân

: $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}. : $\backslash ln\; 2\; =\; 1\; -\backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)}. : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; 2\; \backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)} . : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{5\}\{6\}\; -\; 6\; \backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)} . : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{7\}\{12\}\; +\; 24\; \backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} . : $\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{47\}\{60\}\; -\; 120\; \backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)} .

Các biểu diễn dạng chuỗi khác

: $\backslash sum${n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2. : $\backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1. : $\backslash sum${n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1. : $\backslash sum${n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\frac{3}{2}. : $\backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} = \ln 2. : $\backslash sum${n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} = \ln 2. : $\backslash sum${n=0}^\infty \frac{(-1)^{n{3n+1} = \frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3. : $\backslash sum${n=0}^\infty \frac{(-1)^{n{3n+2} = -\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3. : $\backslash sum${n=0}^\infty \frac{(-1)^{n{(3n+1)(3n+2)} = \frac{2\ln 2}{3}. : $\backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{\sum{k=1}^n k^2} = 18 - 24 \ln 2 sử dụng $\backslash lim${N\rightarrow \infty} \sum{n=N}^{2N} \frac{1}{n} = \ln 2 : $\backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{4k^2-3k} = \ln 2 + \frac{\pi}{6}

Liên quan đến hàm zeta Riemann

: $\backslash sum${n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\frac{1}{2}. : $\backslash sum${n=2}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(n)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2}{2}. : $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{2^\{2n-1\}(2n+1)\}\backslash zeta(2n)\; =\; 1-\backslash ln\; 2.$ ( là hằng số Euler–Mascheroni và là hàm zeta Riemann.)

Biểu diễn dạng BBP

:$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^\backslash infty\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2k\}+\backslash frac\{1\}\{4k+1\}+\backslash frac\{1\}\{8k+4\}+\backslash frac\{1\}\{16k+12\}\backslash right)\; \backslash frac\{1\}\{16^k\}\; .$

Áp dụng ba chuỗi tổng quát cho logarit tự nhiên của 2 ta được: :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash sum${n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1{n}. :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash sum${n = 1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}. :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sum\_\{k\; =\; 0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{9^\{k\}(2k+1)\}.$

Áp dụng cho $\backslash textstyle\; 2\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{4\}\{3\}$ ta được: :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash sum${n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1{2^n n} + \sum{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1{3^n n} . :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash sum${n = 1}^\infty \frac{1}{3^n n} + \sum{n = 1}^\infty \frac{1}{4^n n} . :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{2\}\{5\}\; \backslash sum${k = 0}^\infty \frac{1}{25^{k}(2k+1)} + \frac{2}{7} \sum{k = 0}^\infty \frac{1}{49^{k}(2k+1)} .

Áp dụng cho $\backslash textstyle\; 2\; =\; (\backslash sqrt\{2\})^2$ ta được: :$\backslash ln\; 2\; =\; 2\; \backslash sum${n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1{(\sqrt{2} + 1)^n n} . :$\backslash ln\; 2\; =\; 2\; \backslash sum${n = 1}^\infty \frac{1}{(2 + \sqrt{2})^n n} . :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{4\}\{3\; +\; 2\; \backslash sqrt\{2\; \backslash sum\_\{k\; =\; 0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{(17\; +\; 12\; \backslash sqrt\{2\})^\{k\}(2k+1)\}\; .$

Áp dụng cho $\backslash textstyle\; 2\; =\; \{\; \backslash left(\; \backslash frac\{16\}\{15\}\; \backslash right)\; \}^\{7\}\; \backslash cdot\; \{\; \backslash left(\; \backslash frac\{81\}\{80\}\; \backslash right)\; \}^\{3\}\; \backslash cdot\; \{\; \backslash left(\; \backslash frac\{25\}\{24\}\; \backslash right)\; \}^\{5\}$ ta được: :$\backslash ln\; 2\; =\; 7\; \backslash sum${n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1{15^n n} + 3 \sum{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1{80^n n} + 5 \sum{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1{24^n n} . :$\backslash ln\; 2\; =\; 7\; \backslash sum${n = 1}^\infty \frac{1}{16^n n} + 3 \sum{n = 1}^\infty \frac{1}{81^n n} + 5 \sum{n = 1}^\infty \frac{1}{25^n n} . :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{14\}\{31\}\; \backslash sum${k = 0}^\infty \frac{1}{961^{k}(2k+1)} + \frac{6}{161} \sum{k = 0}^\infty \frac{1}{25921^{k}(2k+1)} + \frac{10}{49} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{2401^{k}(2k+1)} .

Biểu diễn dạng tích phân

Logarit tự nhiên của 2 thường xuyên xuất hiện trong các kết quả lấy tích phân. Một số công thức cụ thể bao gồm: :$\backslash int\_0^1\; \backslash frac\{dx\}\{1+x\}\; =\; \backslash int\_1^2\; \backslash frac\{dx\}\{x\}\; =\; \backslash ln\; 2$

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-x\}\backslash frac\{1-e^\{-x\{x\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash ln\; 2$

:$\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\; \backslash tan\; x\; \backslash ,\; dx=2\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash tan\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\; 2$

:$-\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\; i\}\backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash ln\; x\; \backslash ln\backslash ln\; x\}\{(x+1)^2\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash ln\; 2$

Biểu diễn khác

Khai triển Pierce là :$\backslash ln\; 2\; =\; 1\; -\backslash frac\{1\}\{1\backslash cdot\; 3\}+\backslash frac\{1\}\{1\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 12\}\; -\backslash cdots.$ Khai triển Engel là :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash cdot\; 3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 7\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 7\backslash cdot\; 9\}+\backslash cdots.$ Khai triển cotang là :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash cot(\{\backslash arccot(0)\; -\backslash arccot(1)\; +\; \backslash arccot(5)\; -\; \backslash arccot(55)\; +\; \backslash arccot(14187)\; -\backslash cdots\}).$ Phân số liên tục đơn giản là :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash left[\; 0;\; 1,\; 2,\; 3,\; 1,\; 6,\; 3,\; 1,\; 1,\; 2,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 3,\; 10,\; 1,\; 1,\; 1,\; 2,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 3,\; 2,\; 3,\; 1,...\backslash right]$, cho ta những xấp xỉ hữu tỉ đầu tiên là và

Phân số liên tục tổng quát: :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash left[\; 0;1,2,3,1,5,\backslash tfrac\{2\}\{3\},7,\backslash tfrac\{1\}\{2\},9,\backslash tfrac\{2\}\{5\},...,2k-1,\backslash frac\{2\}\{k\},...\backslash right]$, :cũng có thể viết dưới dạng :$\backslash ln\; 2\; =\; \backslash cfrac\{1\}\; \{1+\backslash cfrac\{1\}\; \{2+\backslash cfrac\{1\}\; \{3+\backslash cfrac\{2\}\; \{2+\backslash cfrac\{2\}\; \{5+\backslash cfrac\{3\}\; \{2+\backslash cfrac\{3\}\; \{7+\backslash cfrac\{4\}\; \{2+\backslash ddots\; =\; \backslash cfrac\{2\}\; \{3-\backslash cfrac\{1^2\}\; \{9-\backslash cfrac\{2^2\}\; \{15-\backslash cfrac\{3^2\}\; \{21-\backslash ddots$

Tính những logarit khác

Sử dụng giá trị của , ta có thể tính logarit của các số tự nhiên khác bằng cách lập bảng logarit của các số nguyên tố rồi tính logarit của các hợp số dựa trên phân tích ra thừa số nguyên tố của nó :$c=2^i3^j5^k7^l\backslash cdots\backslash Rightarrow\; \backslash ln(c)=i\backslash ln(2)+j\backslash ln(3)+k\backslash ln(5)+l\backslash ln(7)+\backslash cdots$ Bảng logarit của các số nguyên tố

Logarit của các số hữu tỉ có thể tính bằng công thức , và logarit của căn bằng .

Logarit tự nhiên của 2 có ích bởi các lũy thừa của 2 phân bố dày đặc hơn những lũy thừa khác; tìm những lũy thừa gần với lũy thừa của số nào khác là tương đối dễ dàng, và biểu diễn chuỗi của có thể tính bằng Chuyển đổi logarit.

Tính toán chữ số

Sau đây là bảng những kỷ lục gần đây trong việc tính toán các chữ số của . Tính đến tháng 12 năm 2018, logarit của 2 đã có nhiều chữ số được tính hơn bất kỳ logarit tự nhiên của số tự nhiên nào khác, ngoại trừ 1.