✨Nhát cắt (không gian phân thớ)

phải|nhỏ| Một nhát cắt $s$ của một phân thớ $p\backslash colon\; E\backslash to\; B$. Một nhát cắt $s$ cho phép không gian cơ sở $B$ được đồng nhất với một không gian con $s(B)$ của $E$. phải|nhỏ| Một trường vectơ trên $\backslash mathbb\{R\}^2$. Một nhát cắt của [[Phân thớ tiếp tuyến|phân thớ tiếp xúc cũng là một trường vectơ.]] Trong lĩnh vực toán học tô pô, một nhát cắt của một phân thớ $E$ là một nghịch đảo phải liên tục của hàm chiếu $\backslash pi$. Nói cách khác, nếu $E$ là một phân thớ với không gian cơ sở, $B$:

: $\backslash pi\; \backslash colon\; E\; \backslash to\; B$

thì một nhát cắt là một ánh xạ liên tục,

: $\backslash sigma\; \backslash colon\; B\; \backslash to\; E$

sao cho

: $\backslash pi(\backslash sigma(x))\; =\; x$ với mọi $x\; \backslash in\; B$.

Một nhát cắt khái quát hóa khái niệm đồ thị. Đồ thị của hàm $g\backslash colon\; B\; \backslash to\; Y$ có thể được đồng nhất với một hàm từ $B$ vào tích Descartes $E\; =\; B\; \backslash times\; Y$:

: $\backslash sigma\backslash colon\; B\backslash to\; E,\; \backslash quad\; \backslash sigma(x)\; =\; (x,g(x))\; \backslash in\; E.$

Đặt $\backslash pi\backslash colon\; E\; \backslash to\; B$ là phép chiếu lên thành phần thứ nhất: $\backslash pi(x,y)\; =\; x$. Thế thì, một đồ thị là một hàm $\backslash sigma$ sao cho $\backslash pi(\backslash sigma(x))\; =\; x$. Tức là một đồ thị là một nhát cắt của phân thớ tầm thường.

Các nhát cắt của các phân thớ chính và các phân thớ véc-tơ là các công cụ rất quan trọng trong hình học vi phân. Trong cài đặt này, không gian cơ sở $B$ là một đa tạp nhẵn $M$ và $E$ là một phân thớ nhẵn trên $M$ (tức là $E$ là một đa tạp nhẵn và $\backslash pi\backslash colon\; E\backslash to\; M$ là một ánh xạ nhẵn). Người ta thường xét các ánh xạ nhẵn của $E$ trên một tập mở mở $U$, ký hiệu $C^\{\backslash infty\}(U,E)$. Trong giải tích hình học, việc xem xét không gian các nhát cắt với bậc khả vi trung gian (ví dụ: các nhát cắt $C^k$), hoặc các nhát cắt thỏa mãn các điều kiện Hölder hoặc các điều kiện của các không gian Sobolev, cũng rất hữu ích.

Nhát cắt địa phương và nhát cắt toàn cục

Các phân thớ không nhất thiết phải có các nhát cắt toàn cục (ví dụ, xét phân thớ trên $S^1$ với thớ $F\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \{0\}$ thu được bằng cách lấy phân thớ Mobius và loại bỏ nhát cắt 0; phân thớ này không có nhát cắt toàn cục); vì vậy các nhát cắt địa phương tỏ ra khá hữu tích. Một nhát cắt địa phương của một phân thớ là một ánh xạ liên tục $s\; \backslash colon\; U\; \backslash to\; E$ với $U$ là một tập mở trong $B$ và $\backslash pi(s(x))=x$ với mọi $x$ trong $U$. Nếu $(U,\; \backslash varphi)$ là một tầm thường hóa địa phương của $E$ thì các nhát cắt địa phương trên $U$ luôn tồn tại. Các nhát cắt địa phương tạo thành một bó trên $B$, được gọi là bó các nhát cắt của $E$.