✨Phép hợp

phải|nhỏ|Hợp của A và B Cho A và B là các tập hợp, khi đó hợp (cũng được gọi là hội hay union) của A và B là tập gồm tất cả các phần tử A và các phần tử của B, và không chứa phần tử nào khác. Hợp của A và B được viết là "A ∪ B". Hợp là khi chúng ta gộp 2 tập hợp lại với nhau.

Hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B là tập các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, hoặc thuộc cả hai A và B. Sử dụng ký pháp xây dựng tập hợp,

:$A\; \backslash cup\; B\; =\; \{\; x:\; x\; \backslash in\; A\; \backslash text\{\; hoặc\; \}\; x\; \backslash in\; B\}$.

Lấy ví dụ, nếu A = {1, 2, 3, 4} và B = {1, 2, 4, 6, 7} thì A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}. Một ví dụ bao gồm hai tập vô hạn là: : A = {x là số nguyên chẵn lớn hơn 1} : B = {x là số nguyên lẻ lớn hơn 1} : $A\; \backslash cup\; B\; =\; \{2,3,4,5,6,\; \backslash dots\}$

Một ví dụ nữa về tính chất là phần tử của: số 9 không nằm trong hợp của các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số chẵn {2, 4, 6, 8, 10, ...}, vì 9 không nguyên tố và cũng không chẵn.

Tập hợp không thể lặp lại phần tử, nên hợp của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {1, 2, 3, 4}.

Tính chất đại số

Phép hợp hai tập hợp là phép toán hai ngôi có tính kết hợp; nghĩa là, cho bất kỳ tập $A,\; B,\; \backslash text\{\; và\; \}\; C,$

Do vậy, có thể bỏ dấu ngoặc đi mà không làm mất giá trị: cả hai cách viết ở trên đều có thể viết thành $A\; \backslash cup\; B\; \backslash cup\; C.$ Ngoài ra phép hợp còn có giao hoán,do đó có thể đổi chỗ các tập hợp trong biểu thức . Tập rỗng là phần tử trung hòa cho phép hợp. Tức là, $A\; \backslash cup\; \backslash varnothing\; =\; A,$ với mọi tập $A.$ Bên cạnh đó phép hợp còn có tính lũy đẳng: $A\; \backslash cup\; A\; =\; A.$ Tất cả tính chất này đều tương tự với phép tuyển.

Phép giao phân phối trên phép hợp

Hợp của một họ tập hợp

Cách viết tổng quát nhất là hợp của một họ tùy ý các tập hợp, đôi khi được gọi là họ vô hạn. Nếu M là tập hợp hay lớp mà các phần tử là các tập hợp thì x là phần tử thuộc hợp của M khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một phần tử A thuộc M sao cho x là phần tử của A. Dưới ký hiệu: : $x\; \backslash in\; \backslash bigcup\; \backslash mathbf\{M\}\; \backslash iff\; \backslash exists\; A\; \backslash in\; \backslash mathbf\{M\},\backslash \; x\; \backslash in\; A.$ Cách viết này tổng quát hóa cho ví dụ trước, A ∪ B ∪ C là hợp của họ {A, B, C}. Ngoài ra, nếu họ M rỗng, thì hợp của M cũng rỗng.

Ký hiệu

Ký hiệu cho hợp của một họ có thể khác nhau. Đối với họ hữu hạn các tập $S\_1,\; S\_2,\; S\_3,\; \backslash dots\; ,\; S\_n$, ta có thể viết $S\_1\; \backslash cup\; S\_2\; \backslash cup\; S\_3\; \backslash cup\; \backslash dots\; \backslash cup\; S$n hoặc $\backslash bigcup${i=1}^n Si. Các cách ký hiệu khác bao gồm $\backslash bigcup\; \backslash mathbf\{M\}$, $\backslash bigcup${A\in\mathbf{M A, và $\backslash bigcup${i\in I} A{i}. Cách ký hiệu cuối $\backslash left\{A\_i\; :\; i\; \backslash in\; I\backslash right\}$ được dùng khi I là tập chỉ số và $A\_i$ là tâp hợp với mọi $i\; \backslash in\; I$. Trong trường hợp tập chỉ số I là tập các số tự nhiên, ta có thể dùng ký hiệu $\backslash bigcup${i=1}^{\infty} A{i}, tương tự với tổng vô hạn trong chuỗi. Trong TeX, $\backslash cup$ được viết là \cup còn $\backslash bigcup$ được viết từ \bigcup.